Question

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°．PA⊥平面ABCD，E为PC中点．

（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可连接EO可利用中位线定理证得EO∥PC再结合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得证．

（Ⅱ）过B作BM⊥平面ABCD，连结PM，ME，说明∠ABO计算平面PBA与平面EBD所成二面角的平面角，利用已知条件求出角的大小，即可求解余弦值．

（Ⅰ）证明：连结AC交BD于点O，连结OE，则O是AC的中点．

又知E是AP中点

∴EO∥PC，

∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．

又知OE⊂平面BDE，

∴平面EBD⊥平面ABCD．

（Ⅱ）【解析】
过B作BM⊥平面ABCD，连结PM，ME，如图，

由（Ⅰ）可知，PA∥EO∥MB，

则MB是平面PBA与平面EBD的交线，可得MB⊥AB，MB⊥BO，

∠ABO计算平面PBA与平面EBD所成二面角的平面角，

四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°．可知：∠ABO=30°

cos∠ABO=cos30°=．

平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值：．

考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．