Question

已知函数f（x）=，g（x）=e^x+m，其中e=2.718…．

（1）求f（x）在x=1处的切线方程；

（2）当m≥﹣2时，证明：f（x）＜g（x）．

Answer

（1）y=x﹣1；（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；

（2）讨论0＜x≤1，由f（x）≤0，g（x）＞0，显然成立；x＞1时，求得f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可判断．

【解析】
（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，

则f（x）在x=1处的切线斜率为1，切点为（1，0），

则f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1；

（2）由函数f（x）=的导数为f′（x）=，

当0＜x≤1时，f（x）＜0，g（x）=ex+m＞0，f（x）＜g（x）成立；

当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有x=e处取得极大值，且为最大值；

而x＞1，m≥﹣2时，g（x）=ex+m＞，即有f（x）＜g（x）．

综上可得，当m≥﹣2时，f（x）＜g（x）．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．