Question

设函数，f（x）=|x﹣a|

（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；

（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

Answer

（Ⅰ）（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当a=2，不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．由绝对值的意义可得﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．

（Ⅱ）由f（x）≤1求得 a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1，再根据 m+2n=（m+2n）（+）=2++，利用基本不等式证得要证的不等式．

【解析】
（Ⅰ）当a=2，不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．

由绝对值的意义可得，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2的距离之和，而﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5，

故|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．

（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得 a﹣1≤x≤a+1，

再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1．

故有 +=1（m＞0，n＞0），∴m+2n=（m+2n）（+）=2++≥4，

当且仅当=时，等号成立，故m+2n≥4成立．

考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．