Question

在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设为的中点，连结，根据条件首先证明四边形为平行四边形，即可得到，再根据线面平行的判定即可得证；（2）根据图形特点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.

试题解析：（1）设为的中点，连结，∵，为的中点，∴为的中点，

又∵为的中点，∴，又∵为的中点，为的中点，∴，

又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，

又∵平面，平面，∴平面；（2）建立如图所示的坐标系，

∵，，分别为，的中点，，

，，，，，设平面的法向量为，

，，，，，

不妨令，则，，∴，同理可得平面的一个法向量为，

，∴二面角的余弦值为.

考点：1.线面平行的判定；2.空间向量求空间角．