Question

已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆方程；

（2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；

（3）记与的面积分别为和，求的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据条件焦点坐标以及即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式即可求解；（3）对直线是否存在分类讨论，建立关于斜率的函数关系式，从而求解.

试题解析：（1）∵为椭圆的焦点，∴，又∵，∴，∴椭圆方程为；（2）∵直线的倾斜角为，∴直线方程为，和椭圆方程联立得到,消掉，得到，∴，，，∴；

（3）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，，，面积相等，，当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,

设，，和椭圆方程联立得到，消掉得，

显然，方程有根，且，，

此时，

∵，上式，（时等号成立），

∴的最大值为.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题．