Question

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的，.

Answer

（1）在上是单调递减的函数；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导，根据导函数的取值情况分析的单调性；（2）令，求导，分析其单调性，进而研究其取值情况，问题等价于证明即可得证..

试题解析：（1）当时，，，

，∵当时，，∴，∴在上是单调递减的函数；（2）设，，，令，则，当时，，有，∴在上是减函数，即在上是减函数，

又∵，，∴存在唯一的，使得， ∴当时，，在区间单调递增；

当时，，在区间单调递减，因此在区间上

，

∵，∴，将其代入上式得

，

令，，则，即有，，

∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，

∴，（），即任意，，∴，因此任意，.

考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．