Question

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调递增区间：，单调递减区间：，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导，对导函数三角恒等变形后根据导函数的取值情况即可求解；（2）将原问题变形，可知其等价于，求导，对的取值进行分类讨论判断函数的单调性，从而求解.

试题解析：（1），令，

当，，单增，，，单减；（2）令，即恒成立，而，

令，

∵，在上单调递增，，

当时，，在上单调递增，，符合题意；

当时，在上单调递减，，与题意不合；

当时， 为一个单调递增的函数，而，，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为.

考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．