Question

如图，已知四棱锥S-ABCD是底面边长为的菱形，且，若，SB=SD

（1）求该四棱锥体积的取值范围；

（2）当点S在底面ABCD上的射影为三角形ABD的重心G时，求直线SA与平面SCD夹角的余弦值。

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）先连结AC、BD交于E，由四边形ABCD为菱形，可得 ACBD，又由于E为BD中点，SB=SD可得BDSE 根据线面垂直的判定定理可得BD面SAC又因为点S在AC为直径的圆上运动，当SE=AC时，取得最大值

（2）以AC为轴，BD为轴，E为原点建立直角坐标，写出 S，D，A,C，求出平面SDC法向量及，从而求出直线SA与平面SCD夹角的余弦值

试题解析：（1）连结AC、BD相交于E，四边形ABCD为菱形，ACBD，E为BD中点，SB=SD，BDSE ，BDAC BD面SAC

又点S在AC为直径的圆上运动，当SE=AC==3时，菱形ABCD3=

（2）AG= 中，由射影定理：知 ，求SG=2

，GE=1，以AC为轴，BD为轴，E为原点建立直角坐标，如图，S(1，0，2)

D，设平面SDC法向量，SA与平面SDC夹角，求，

求

.

考点：四棱锥的体积及直线与平面所成的角.

【方法点睛】(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为直线与平面法向量夹角的正弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.