Question

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间是，单调递减区间是和当时，. 所以，函数的单调递减区间是当时，，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出函数 的定义域，求出函数的导数，再令，求得解，

讨论当时及，列出函数与随的变化情况得到函数的单调区间

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，函数的极小值，极大值，并且极小值与极大值均大于0，又由函数在是减函数，可得至多有一个零点，又由可得函数只有一个零点，且，得到证明

试题解析：（Ⅰ）【解析】
的定义域为.

令，或

当时，，函数与随的变化情况如下表：

所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和

当时，. 所以，函数的单调递减区间是

当时，，函数与随的变化情况如下表：

所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.

（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为.

因为，且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点. 又因为，所以 函数只有一个零点，且.

考点：函数的单调性与导数的关系及函数的零点.