Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

Answer

（1）证明见解析（2）∠ACB=60°

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证DE是⊙O的切线，连接OE，只需∠OED=90°，要证∠OED=90°只需证明∠DEC+∠OEB=90°连接AE，根据直径所对圆周角是直角及切点与圆心连线垂直可得 AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由D为AC的中点可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，可得∠DEC+∠OEB=90°

（Ⅱ）先计算AB，BE，由射影定理可得AE2=CE•BE，计算出AE,即可求得∠ACB的大小

试题解析：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，

由射影定理可得AE2=CE×BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，

解方程可得x=∴∠ACB=60°.

考点：证明圆的切线及射影定理.