Question

已知点直线相交于点，且．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值，若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）；（II）.

【解析】(I)设为所求轨迹上的任意一点，由得，整理即得点的轨迹方程，注意判断范围；（II）由已知直线的斜率存在，设方程为，与椭圆方程联立，得，由此利用韦达定理和判别式及弦长公式表示出的面积，根据基本不等式求出最大值.

试题分析：（Ⅰ）【解析】
设M（x，y），则 ∴

∴（未写范围扣1分）

（II）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx+1，

联立，消去y得

∵，∴k， 设 则

，当且仅当即k=0时取等号，

故面积的最大值为.

考点：轨迹方程的求解及直线与椭圆的位置关系等综合性问题.

【方法点晴】本题考查了未知曲线形状时，用直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系问题中最基本的最值问题，属于中档题.解答本题时，把题目条件转化为动点坐标的关系即得曲线方程；在直线与圆锥曲线的位置关系中求解最值时，通常先利用判别式、韦达定理和弦长公式表示出要求最值的量，再利用函数或不等式知识来求出最值.