Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若正实数满足，证明．

Answer

（Ⅰ）函数的增区间是，减区间是；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（I）求出，解不等式，即可得到函数的单调区间；（II）构造新函数，要使恒成立，只要最大值小于或等于零即可，通过分类讨论判断出其单调性，找到最大值点求出最大值，令最大值小于或等于零，即可求得整数的最小值；（III）代入整理可得，换元设，构造新函数，利用导数研究其单调性，可知，解不等式即得.

试题解析：（Ⅰ），由，得，

又，所以．所以的单调减区间为．

（Ⅱ）令，

所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立．

当时，，

令，得．所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．令，因为，，又因为在是减函数．

所以当时，．所以整数的最小值为2．

（Ⅲ）由，即

，

从而 令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

所以， 所以，又，

因此成立

考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数单调性以及不等式的恒成立问题，属于难题.解答本题的难点是第二问和第三问构造新函数后的处理，第二问把要证明的不等式转化为求新函数的最大值问题，最后需要再构造新函数求得的最大值；第三问把要证明的范围问题转化为函数的值域问题，在利用导数研究其单调性，反复使用转化与化归的思想方法，充分体现了导数在研究函数的单调性和极值中的工具作用.