Question

已知圆x²+y²=4上一定点A（2，0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：设出线段的中点坐标，利用中点坐标公式表示出点坐标，代入圆的方程整理即得中点的轨迹方程；（2）可得为以为斜边的直角三角形，所以的中点满足，由整理即可中点的轨迹方程.

试题解析：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x-2）2+（2y）2=4.故线段AP中点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1.

（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4.故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

考点：利用求轨迹的方法求曲线方程.