Question

如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.

（1）若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程；

（2）若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.

Answer

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）联立两条直线方程求得圆心的坐标，即得圆的方程,设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求得切线方程；（2）设出圆心坐标，表示出圆方程，根据，设出点的坐标，利用等式关系整理求得点的轨迹，进而判断出点应该既在圆上又在圆上，也就是两圆为相交关系，列出不等式求得的范围.

试题解析：(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为

∴圆的方程为:

显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即

∴∴∴∴或者

∴所求圆C的切线方程为:或者即或者

(2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)

则圆的方程为:

又∵∴设M为(x,y)则整理得:设为圆D

∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点

∴

由得

由得

终上所述,的取值范围为:

考点：直线与圆及圆与圆位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆及圆与圆的位置关系，属于基础题.求圆的切线方程通常利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径来求解，应当先判断给出的点与圆的位置从而确定切线的条数，防止漏解，第二问中先根据求出点的轨迹，把问题转化为两圆的位置关系，利用圆心距与半径和差的关系列出不等式求解.