Question

已知函数为奇函数，且在处取得极大值.

（1）求的解析式；

（2）过点可作函数图像的三条切线，求实数的取值范围；

（3）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得的解析式；（2）设出切点坐标，结合导数的几何意义得到关于切点横坐标的函数关系式为三次函数，要让切线有三条，应使函数与的图象有三个交点，所以求函数的值域即得的取值范围；（3）分离参数可得，所以利用导数研究其单调性，求出最小值即得实数的取值范围.

试题解析: （1）为奇函数，∴，∴.

在处取得极大值，∴，

从而的解析式为.

（2）设切点为，则，消去得，

设，则，

∴在递减，递增，

要使过点可作函数图像的三条切线，则实数的取值范围为.

（3）设，，∴在递增，，

∴，从而，∴实数的取值范围为

考点：利用导数在研究函数的单调性和极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和极值、最值、恒成立等问题，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合的数学思想，属于难题.本题解答的难点是转化的过程，第二问中把过某点的三条切线问题转化为新函数的值域问题，第三问把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转化后利用导数利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.