Question

已知函数（其中常数）.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，在增，减，当时，在增，减，当时，在增，减，当时，在增；（2）.

【解析】

试题分析：(1)求出导函数，按，，及四种情况分别讨论不等式在上的解即可得到的单调区间；（2）结合（1）中的单调性可知当时，在上单调递增，又，所以当时，恒成立，而当时，在上存在极大值点，比较的大小即可得到答案.

试题解析：（1），

设，该函数恒过点.

当时，在增，减；

当时，在增，减；

当时，在增，减；

当时，在增.

（2）原函数恒过点，由（1）可得时符合题意.

当时，在增，减，所以，不符合题意.

考点：导数在研究函数的单调性和极值、最值中的应用.

【方法点晴】本题主要考查了考生利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查考生对分类讨论数学思想的应用能力，属于难题.本题解答思路简单，但思维量较大，第一问中的易错点是不少考生容易忽略函数的定义域导致出错，讨论时应当先考虑分子上二次项系数的符号，再考虑两个根的大小，有些考生讨论不全导致丢分；第二问解答的技巧是足以前后问之间的联系，先通过第一问的结论判断出时的情况，同时发现，启示考生判断时，研究函数在上的最大值即可.