Question

如图（1），中，，，为中点，现将沿着边折起，如图（2）所示.

（Ⅰ）求证：平面平面.

（Ⅱ）若平面平面，求三棱锥外接球的直径.

Answer

（I）证明见解析；（II）．

【解析】

试题分析：（I）折叠前，折叠后不变，从而可证平面，再利用面面垂直的判定定理证得平面平面；（II）先将三棱锥补成一个棱长为的正方体，再计算正方体的对角线长即其外接球的直径．

试题解析：（Ⅰ）由图（1）知，,, ，

所以平面.

又因为平面,所以平面平面.

（II）因为平面平面，平面平面,，

平面，

所以平面.

所以，即、、两两垂直，

而易知，

所以该三棱锥外接球与以、、为相邻棱组成的正方体的外接球为同一个球，

所以三棱锥外接球的直径为.

考点：1、面面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、几何体的结构特征．

【方法点晴】本题主要考查的是面面垂直和空间几何体的结构特征，属于中档题．证明面面垂直的关键是证明线线垂直，再证明线面垂直，常用方法有定义法，面面垂直的判定定理，向量法；证明线线垂直常用的方法是等腰三角形底边上的高线，菱形对角线互相垂直，勾股定理，线面垂直的定义．本题求三棱锥的外接球的直径，采用了割补法．