Question

如图，直三棱柱的底面是边长为正三角形，，为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（I）证明见解析；（II）当为棱中点时，平面．

【解析】

试题分析：（I）取中点，连接，，先证⊥，再证⊥，进而可证平面；（II）连接，，欲证平面，需在平面找出两条相交的直线与垂直，由（I）知⊥，关键是证明，当为棱中点时，，在直角梯形中，，通过三角形相似易证直角梯形的对角线互相垂直，进而根据线面垂直的判定定理可得平面．

试题解析：（I）取中点，连接，，

∵为中点，∴，又⊥平面，

∴⊥平面，

∴⊥.

∵△为正三角形，∴⊥ 又∩，

∴平面

又∵平面 ∴.

（II）当为棱中点时，平面.证明如下：

连接,.因为⊥平面,平面,

所以,又,,

四边形是矩形，

，,

当为棱中点时，

,所以，

所以，

所以

又因为，,

所以平面，即当为棱中点时，平面.

考点：1、柱体的结构特征；2、线面垂直 ；3、线线垂直．

【方法点晴】证明线线垂直的常有方法有等腰三角形底边上的高线，菱形的对角线，勾股定理，圆中直径所对的圆周角为直角，直线与平面垂直的定义；证明线面垂直的常用方法有定义法，线面垂直的判断定理.本题主要考查的是空间直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，属于中档题．考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，将空间问题转化为平面问题的能力．