Question

年，国际数学协会正式宣布，将每年的月日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关 顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得个、个、个学豆的奖励.游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响.

（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；

（2）设该选手所得学豆总数为，求的分布列与数学期望.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题可知第一关闯关成功且所得学豆为零有两种可能事件，即第一次成功第二次失败，前两次成功第三次失败，求出两事件的概率，即可求得第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）所获学豆总数的为，分别求得其对应的概率，在利用公式求得其数学期望.

试题解析：（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥，

，，

.

（2）所有可能的取值为，

，，

，，

所以的分布列为：

0

5

15

35

P

考点：独立事件的概率，数学期望.