Question

已知数列是公差不为零的等差数列，且，成等比数列.数列的每一项均为正实数，其前项和为，且满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：(1)是等差数列，所以可假设，，，再结合等比中项的性质求得，即可求得的通项公式，对于的通项，可先求得，再利用,得到的递推公式，通过递推公式进一步求得通项；（2）由，的通项公式可求得数列的通项，进一步求其前项和，并求得，并用函数来表示其比值，然后再求的值，同样用函数来表示，最后通过两函数值的比较，求出的范围.

试题解析：（1）设数列的首项为，公差为，由已知可得：，

解得或（舍），∴.

当时，，∵，∴，

当时，①，②，

②-①得，，

∵，∴，∴是首项为，公差为的等差数列.

故.

（2），

，

∴，∴，

令，则当时，，

所以为递增数列，所以，

又对恒成立，故，解得，

所以正整数的最大值为.

考点：数列的通项及前项和，等比中项的运用.