已知函数，. （1）当时，求函数的最大值；（2）若，且对任意的恒成立，求实数的...

已知函数，.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.

（1）；（2）. 【解析】试题分析：(1)当时，函数为，可先求得导函数，利用导函数求出函数的单调区间，进一步求得最大值（或值域）；(2)因为对任意的恒成立，所以有当，所以可通过导函数来求得的最小值（关于的表达式）及的最大值（关于的表达式），代入前式，在解不等式，从而求得的取值范围. 试题解析：（1）函数的定义域为：，当时，， ∴，，函数在上单调递增， ∴，，函数在上单调递减， ∴. （2）令，因为“对任意的恒成立”，对任意的成立，由于，当时，有，从而函数在上单调递增，所以，，当时，，时，，显然不满足，当时，令得， ①当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需，得，所以. ②当，即时，在上，单调递增，在上，单调递减，所以，只需，得，所以. ③当，即时，显然在上，单调递增，所以，不成立. 综上所述，的取值范围是. 考点：导函数的运用，解含参数的不等式. 方法点睛：在求复杂函数的值域（最值）时，要充分利用导函数的性质，通过导函数求得函数的单调区间，再由单调性求函数的值域（最值）；而对于有关函数的不等式恒成立求参数范围的问题，首先需要将函数不等式转化为函数最值的不等式问题，即转化为有关参数的不等式，在进行转化时，因为参数不为定值，所以在求函数最值时要注意对参数进行分情况讨论.

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考点分析：

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