Question

设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；

（2）过“相关圆”上任意一点作相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.

①证明：为定值；

②连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.

Answer

（1），；(2)①证明见解析；②.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知椭圆右焦点为，即，再由短轴顶点与两焦点围成直角三角形可知，这样便可求得，从而求得椭圆的方程和“相关圆”的方程；（2）①当直线的斜率不存在时，由（1）可知直线为，分别求出两点坐标，并求得，当斜率存在时，可假设直线为，并且假设，将椭圆与直线方程联立，再结合根与系数的关系可得到与的关系，再由切线定理可得到的关系，因为前面已经求得，所以可以利用利用向量法证明的值为；②由于于是“相关圆”的直径，即，所以，即只要求得的范围即可求得面积的范围.

试题解析：（1）因为抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以.

又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，

故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，

则所以，

当直线的斜率存在时，设其方程设为，设

联立方程组得，即，

，即，

因为直线与相关圆相切，所以，∴，

∴

∴，∴为定值.

②由于是“相关圆”的直径，所以，

所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围.

当直线的斜率不存在时，由①知，

因为，

时，为，所以，

所以，所以，当且仅当时取“=”.

当时，，的取值范围为，

所以面积的取值范围是.

考点：椭圆的性质及其方程，动点问题的证明，重要不等式的运用.

思路点睛：本题主要考察了椭圆（圆，抛物线的）性质，以及相关的计算，在证明有关动点的定值问题时，可先找特殊点求得，再结合已知条件利用向量法证明对任意点都有，而对于求三角形的面积的范围，首先通过观察图形用选用合适的面积公式，其次将面积转化为某一变量的函数，通过函数的范围（不等式性质）来求面积的范围.