Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin²13°＋cos²17°－sin13°cos17°；

②sin²15°＋cos²15°－sin15°cos15°；

③sin²18°＋cos²12°－sin18°cos12°；

④sin²(－18°)＋cos²48°－sin(－18°)cos48°；

⑤sin²(－25°)＋cos²55°－sin(－25°)cos55°.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）这是一个利用三角函数公式进行变换求值的问题，注意抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式求得结果；（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如：“”的规律，然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

试题解析：(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15° ＝1－sin30°＝1－×＝.

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)

＝sin2α＋－sinαcosα－sin2α

＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα

＝(sin2α＋cos2α)＝.

考点：归纳推理

方法点晴：本题主要考查了利用三角函数公式进行变换求值的问题，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，对于归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况法相事物具有某些相同的性质；（2）从已知的相同性中推出一个明确的表达的一般性的命题（猜想），本题的解答中，注意抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式求得结果；依据结构特点、角之间的关系，得到：“”的规律，进而可作出证明．