Question

设函数

（1）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的t的取值范围；

（2）若， 且在上的最小值为，求的值.

Answer

（1）在上单调递减，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由可得，由此可判断的单调性，利用函数的性质可去掉函数的对应法则“”，转化为二次不等式，进而利用判别式，可求解的取值范围；（2）由，可得，通过换元可把化为二次函数，讨论二次函数的对称轴可求得最小值，令即可求解求的值．

试题解析：（1）

单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减．

不等式化为

，解得

，由（1）可知为增函数

令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥)

若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2

若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去

综上可知m＝2

考点：函数的恒成立问题；函数奇偶性的判断．

方法点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题、函数的奇偶性、单调性的应用及抽象不等式的求解，着重考查了转化与化归的思想方法及分类讨论的数学思想的应用，同时考查学生综合运用知识分析、解决问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，利用的单调性去掉函数的对应法则“”，转化为二次不等式是解答本题的关键和难点．