Question

已知函数, 函数．

（1）若的定义域为，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）是否存在非负实数m、n,使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．

Answer

(1) ；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）若的定义域为，则真数大于恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数的取值范围，综合讨论结果即可得到答案；（2）令，则函数，可化为，再结合二次函数的图象与性质，分类讨论各种情况下的表示，综合讨论结果，可得的表达式；（3）假设存在，由题意得，即可解得答案．

试题解析：(1),∴

令 ,则

当,,的定义域为，不成立；

当，的定义域为R，

∴，解得，综上所述，

(2)

，

令，则,，

对称轴为，当时，时，；

当时，时，；

当时，时，．

综上所述，

(3)，假设存在，由题意，知解得∴存在，使得函数的定义域为，值域为．

考点：对数函数的图象与性质的综合应用．

方法点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，熟练掌握对数函数的图象与性质是解答本题的关键，同时着重考查了分类讨论的思想方法及转化的思想方法、换元法的的应用，属于中档试题，本题的解答中令，则函数，可化为，再结合二次函数的图象与性质，分类讨论各种情况下的表示，可得的表达式是解答本题的关键和难点．