Question

如图，四面体中，两两垂直，且，点是的中点，是的重心，异面直线与所成的角为，且．

（1）求证平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）只需在三角形，利用重心的性质，证明，即可利用线面平行的判定定理证明平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，，根据法向量所成的角，即可求解二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：连并延长交于，连

是的重心，是之中点，又是之中点，

而面面

面

（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，

则，设

，由，有

由得，由得，

即面与面所成的锐二面角的余弦值为.

考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解.