Question

直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点.

（1）直线是否过定点？证明你的结论；

（2）若，求的外接圆的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）设直线方程为，利用，把直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，求解，从而确定直线过定点；（2）利用，解得，分别按和，得到外接圆的方程.

试题解析：（1）直线过定点.证明如下：

设直线的方程为，则

即①

由②

由①②得

故直线过定点.

（2）由（1）知

①若，则外接圆方程为

②若，则外接圆方程为

故外接圆方程为或.

考点：直线方程的应用；圆的标准方程.

方法点睛：本题主要考查了判定直线过定点及直线方程的应用、三角形外接圆的圆的标准方程的求解，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想及分类讨论的思想方法，本题的解答中，设出直线方程为，利用，把直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，求解的值，从而确定直线过定点；再利用，解得，可求解三角形外接圆的方程.