Question

设函数．

（1）求的单调区间与极值；

（2）比较与的大小，并说明理由；

（3）证明当时，．

Answer

（1）递增区间为，递减区间为，极大值为，无最小值；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出导函数，令得，进而可求出函数的单调区间和极值；（2）利用在上递增，可比较与的大小；（3）把原不等式转化为，令，求出导函数，再令，求解导函数，判定函数的单调性，求解函数的最值，即可证明原不等式成立.

试题解析：（1），令得，且当时，

当时，

的递增区间为，递减区间为，，无最小值;

（2）由（1）知在上递增，而

（3）原不等式，

令

则

令，

则单调递减，

单调递减

即

考点：导数在函数中的综合应用.

方法点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用导数求解函数极值、最值、与函数有关的不等关系的证明，试题有一定的难度，属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法及构造新函数，利用新函数分析、解答问题的能力，本题的解答中把圆原不等式转化为，构造新函数，求出导函数，再构造新函数，求解导函数，判定函数的单调性，求解函数的最值，即可证明原不等式成立.