Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，四个顶点分别为、、、，且四边形是边长为2的正方形，动点满足，连接，交椭圆于点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）证明：为定值；

（Ⅲ） 试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由.

Answer

（I）；（II）证明见解析；（III）．

【解析】

试题分析：（I）由题意知，∴，即可求解椭圆的方程；（II）设直线：，代入圆的方程，根据根与系数的关系，求得，，写出向量 与的坐标，即可为定值；（III）设，且，由题意，利用即可求解点的坐标.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，所以椭圆方程为.

（Ⅱ） 法1（设点法）设则，

直线：，即，

代入椭圆方程，得，

∵，∴，∴，∴

∴（定值）.

法2（设线法），同上理，

同上理……

（Ⅲ）设存在满足条件，则，

则由得从而得，

∴存在满足条件.

法2. ，……，

∴存在满足条件.

考点：直线与圆锥曲线的综合应用.

方法点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、向量关系的证明、正方形的性质、两直线垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系是解答此类问题的常见方法，着重考查了推理能力与计算能力，属于难题，本题的解答中设直线的方程，代入圆的方程，根据根与系数的关系，求得，写出向量 与的坐标，即可为定值；设，根据，利用即可求解点的坐标.