Question

设函数.

（Ⅰ）若函数在处的切线与轴相交于点，求的值；

（Ⅱ）当时，求证：.

Answer

（I）；（II）见解析．

【解析】

试题分析：（I）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点间的斜率公式，计算化简即可得到的值；（II）当时，对于，运用函数的单调性和不等式的性质，即可证明.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，

∴函数在处的切线方程为：，

由题知切线过点，故，解得.

法2：∵，∴由题知，

即，解得.

（Ⅱ）令，∴，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

所以，

当时，即时，，即.故时，在上单调递增，

∴，即，∴……①

∵，∴，∴，

∴，即…………②

①+②得：.

故当时，得证.

考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程；导数在函数中的综合应用.

方法点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点的切线方程、导数在函数的单调性和极值与最值中的应用，同时考查了不等式的比较大小，其中运用函数的单调性和不等式的性质是解答本题的关键，有一定的难度，属于难题，本题的解答中令，求得，可得函数的单调性与极值，进而得到函数的单调性，则可比较与的大小关系，体现了转化与化归思想方法的应用.