Question

已知函数在区间上有最大值5，最小值1；设.

（1）求的值；

（2）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的性质可知在区间上是增函数，故得，求出的值；（2）由（1）得的解析式，，即，利用换元法令，则，对任意恒成立，令，，分，和三种情况讨论.

试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，

故，解得.

（2）由已知可得，

，即，

令，则，对任意恒成立，

令，，则

①当时，成立；

②当时，在上为增函数，

时，，舍去；

③当时，在上为减函数，在上为增函数，

若，即时，，

得，∴.

若，即时，在上为减函数，，

∴，

综上，的取值范围为.

考点：1、二次函数的性质；2、换元法；3、反比例函数的性质.

方法点睛：（1）根据二次函数的性质得到关于的方程组，求出的值；（2）把代入已知条件化简整理得，利用换元法令，，对任意恒成立，得到关于的函数，，分，和 三种情况求得的取值范围为.