Question

已知是函数的图象上任意两点，且，点.

（1）求的值；

（2）若，，且，求；

（3）已知，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用中点坐标公式得，则，，进一步把用表示，求得的值；（2）由（1）知：，，，故利用倒序相加法求；（3）先求数列的前项和，得到的关系式，分离，进一步利用不等式的性质求的取值范围.

试题解析：（1）∵，∴是的中点，设，则

由，得，则，，

而

∴.

（2）由（1）知：，，

，，

两式相加，得：

∴.

（3）当时，，

由，得，

∴对任意，都成立，

，

当且仅当时等号成立，∴.

故的取值范围是.

考点：1、中点坐标公式；2、倒序相加求数列的和；3、均值不等式.

方法点睛：（1）利用中点坐标公式得，则，，进一步把用表示，求得的值；（2）由（1）知：，，，故利用倒序相加法求；（3）先求数列的前项和，得到的关系式，分离，进一步利用不等式的性质求的取值范围.