Question

某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按

分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考

试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．

年龄分组	项培训成绩优秀人数	项培训成绩优秀人数
	30	18
	36	24
	12	9
	4	3

（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段抽取的人数；

（2）求全校教师的平均年龄；

（3）随机从年龄段和内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的

人数为，求的概率分布和数学期望．

Answer

（1）；（2）；（3）概率分布见解析，数学期望是.

【解析】

试题分析：（1）根据频率分布直方图和频率分布表及本层抽样的方法可求出各年龄段分别应抽取的人数；（2）用各组的中点代表该组数据乘以该组的频率相加即得全校教师的平均年龄；（3）先分别求出和的人数，再根据相互独立事件概率公式，求出两组中两项培训结业都优秀的概率，求出分别取得概率即的其分布列和数学期望.

试题解析：（1）由频率分布直方图知，

（2）．

（3）∵在年龄段内的教师人数为（人），从该年龄段任取1人，

由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为；

项培训结业考试成绩优秀的概率为，

∴此人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，

∵在年龄段内的教师人数为（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为；项培训结业考试成绩优秀的概率为，

∴此人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为．

由题设知的可能取值为0，1，2．

∴，

，

∴的概率分布为

0

1

2

的数字期望为

．

考点：用样本的数字特征估计总体及离散型随机变量的分布列和数学期望.