Question

已知抛物线方程为，其焦点为，点为坐标原点，过焦点作斜率为的直

线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点．

（1）求；

（2）设直线与抛物线交于两点，且四边形的面积为，求直线的斜率．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）写出直线的点斜式方程代入抛物线方程消去，整理得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到，再由向量的数量积和直线方程代入整理即可的值；（2）根据导数的几何意义可得两条切线斜率，写出的方程，解方程组求得交点的坐标，求得直线的斜率可知，由弦长公式求得，表示出四边形的面积，消去得到斜率的方程，解方程即得的值.

试题解析：（1）设直线方程为，

联立直线与抛物线方程，得，

则，∴

（2）由，知，

∴直线在两点处的切线的斜率分别为，

∴的方程为，的方程为，

解得交点．

∴，知直线与相互垂直．

由弦长公式知，，

用代得，，

四边形的面积，依题意，得的最小值为，

根据的图象和性质得，或，即或

考点：直线与抛物线位置关系的应用.

方法点睛：本题主要考查了直线与抛物线位置关系问题，考查学生的运算能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于难题.本题第一问思维简单，主要考查了考生运用方程思想和韦达定理解决问题的能力，第二问的技巧在于利用导数的几何意义求得切线斜率和方程，代换得到的方程，从而求得点坐标，发现直线与相互垂直对于最后表示出四边形的面积十分关键，根据弦长公式求出的长，代换得到的出，最后通过四边形的面积得到斜率的方程，这一过程考查了考生的逻辑推理能力和运算能力.