Question

已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．

（1）求的单调区间；

（2）设，对任意，证明：．

Answer

（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出，根据曲线在点处的切线与轴垂直即切线斜率为，求出的值，解即得函数的单调递增区间和递减区间；（2）由于，所以整理得，分别证明时，和，根据（1）可知：当时，由（1）知成立；当时，，，即证，构造函数，利用导数研究其在单调性，求出其在上的最大值即可证得，再构造函数，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.

试题解析：（1）因为，由已知得，∴．

所以，

设，则，在上恒成立，即在上是减函数，

由知，当时，从而，当时，从而．

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）因为，要证原式成立即证成立，

现证明：对任意恒成立，

当时，由（1）知成立；

当时，，且由（1）知，∴．

设，则，

当时，，当时，，所以当时，取得最大值． 所以，即时，．

综上所述，对任意．①

令，则恒成立，所以在上递增，

恒成立，即，即．②

当时，有；当时，由①②式，，

综上所述，时，成立，故原不等式成立

考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.

方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.