如图，
是
的直径，弦
的延长线相交于点
，
垂直于
的延长线于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的长．
已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与
轴垂直．
（1）求
的单调区间；
（2）设
，对任意
，证明：
．
已知抛物线方程为
，其焦点为
，点
为坐标原点，过焦点
作斜率为
的直
线与抛物线交于
两点，过两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点
．
（1）求
；
（2）设直线
与抛物线交于
两点，且四边形
的面积为
，求直线
的斜率
．
某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按
分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加
两项培训，培训结束后进行结业考
试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．
年龄分组 |
|
|
| 30 | 18 |
| 36 | 24 |
| 12 | 9 |
| 4 | 3 |
（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段
抽取的人数；
（2）求全校教师的平均年龄；
（3）随机从年龄段和
内各抽取1人，设这两人中
两项培训结业考试成绩都优秀的
人数为
，求
的概率分布和数学期望．
如图，在多面体
中，
平面
，
，且
为等边三角形，
，
与平面所成角的正弦值为
．
（1）若
是线段
的中点，证明：
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
已知数列
的前
项和为
，常数
，且
对一切正整数
都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，当
为何值时，数列
的前
项和最大？
