Question

数列满足．

（Ⅰ）证明：数列是等差数列；

（Ⅱ）若，求．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在等式两边同时除以，得到，移项得，故命题得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）先得到的通项公式，在转化为的通项，把看成数列的前项和，根据其特征采用并项求和，但注意分为为奇数和偶数两种情况来讨论.

试题解析：（Ⅰ）证：由已知可得，即

所以是以为首项，为公差的等差数列。

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）得，所以，

∵，

∴，

当为偶数时，；

当为奇数时，；

综上，.

考点：（1）等差数列的证明；（2）并项求和求数列的前项和.

【方法点晴】（Ⅰ）根据题意得特点，利用常用手段在等式两边同时除以，得到数列的第项和第项之间的关系符合等差数列的定义，故得证；（Ⅱ）根据数列的正负相间的特征利用并项求和法求数列的前项和，同时需注意分为为奇数和偶数两种情况来讨论，当为偶数时，恰好并为项，当为奇数时，前项并为加最后一项.