Question

已知数列中，a₁=1，a₂=3，其前n项和S_n满足．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若，，求数列的前的和．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用；(Ⅱ)利用累加法；(Ⅲ)结合(Ⅱ)知，变为常见的等差数列加绝对值求其前项和，在此种题型中要注意讨论的符号，即和两种情况来求，并且在第一种情况中分为两部分.

试题解析：（Ⅰ）由题意知, 易得：

即

(Ⅱ)

检验知时，结论也成立，故．

(Ⅲ) 由，

当时，；

当时，；

所以

故

考点：（1）数列的通项公式；（2）与的关系；（3）等差数列的前项和.

【方法点晴】（Ⅰ）利用这一常用等式，构造出，得证；(Ⅱ)利用型的数列用累加法求其通项公式，但同时注意验证时结论成立；(Ⅲ)求数列的前项和，必先求出求出其通项公式，由(Ⅱ)知，对进行讨论分为和两种情况，当时，为等差数列前项和，当时，分为两部分，前项和后项.