Question

等差数列的前项和为，．

（1）求数列的通项与前项和；

（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用等差数列的前项和公式得到关于的方程，再把代入可求出公差，从而得出；（2）用反证法，假设数列中存在三项（，且互不相等）成等比数列，根据等比数列的等比中项推出一种矛盾，进而可知假设不成立.

试题解析：（1）由已知得，∴，

故．

（2）证明：由（1）得．

假设数列中存在三项（，且互不相等）成等比数列，则，即．

∴．

∵，∴，

∴，即，∴，与矛盾．

∴假设不成立，即数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

考点：1、等差数列；2、等比数列；3、反证法；4、全称命题的否定．

【方法点晴】第（1）问的关键是求公差，方法有两种：①用表示出，而，进而求得；②利用等差数列的前项和公式得到关于的方程，再与联立成方程组求得，进而写出；第（2）问采用反证法证明，用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论正确．理论依据：原命题与逆否命题的等价性．本题主要考查的是数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想以及推理和运算能力，属于中档题．