Question

直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于和两点．

（1）求证：；

（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦，直线不是的垂直平分线．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先对直线的斜率是否存在进行讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，易验证成立；当直线的斜率存在时，由点斜式写出直线的方程，再与抛物线方程联立即可；（2）先设出的坐标，写出的的垂直平分线的方程为，再验证直线与直线不重合即可．

试题解析：（1）易求得抛物线的焦点，

若轴，则的方程为，显然．

若不垂直于轴，可设，代入抛物线方程整理得，则．

综上可知．

（2）设且，则的垂直平分线的方程为，

假设过，则整理得

，∵，

∴，∴．

这时的方程为，从而与抛物线只相交于原点，而与抛物线有两个不同的交点，因此与不重合，不是的垂直平分线．

考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、直线的方程．

【方法点晴】因为直线过抛物线的焦点，必须对其斜率是否存在进行讨论，为了避免讨论也可用下面的方法：因为直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于和两点，抛物线的焦点坐标为，可设直线的方程为，即，代入抛物线得，，即，由韦达定理得：，.本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线与抛物线的位置关系，注意正确设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．