Question

已知定义在正实数集上的函数，其中．设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用表示，并求的最大值；

（2）求证：．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）设出两曲线的公共点坐标，分别求出和的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用表示出的式子，设等于表示出的式子，求出的导函数，令导函数大于，求出的范围即为函数的增区间，令导函数小于求出的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出的最大值即为的最大值；（2）设，求出的导函数，根据导函数的正负得到的单调区间，由大于和函数的增减性得到的最小值为，即大于等于，得证．

试题解析：（1）设两曲线的公共点为，

，

由题意知，

即

由，得或（舍去）．

即有，

令，则．

于是当，即时，；

当，即时，．

故在上为增函数，在上为减函数，

于是在上的最大值为，

即的最大值为．

（2）证明：设，

则．

故在 上为减函数，在上为增函数．

于是在上的最小值是．

故当时，有．

即当时，．

考点：1、利用导数研究曲线上某点切线方程；2、利用导数研究函数的单调性．

【方法点晴】最值问题历来是热点，导数法求函数最值是一种常用的方法：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．属于压轴题．