Question

在平面直角坐标系中，已知四点，把坐标系平面沿轴折为直二面角．

（1）求证：；

（2）求平面和平面的夹角的余弦值；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析;（2）;（3）18.

【解析】

试题分析：由题意可证得面.从而可建立空间直角坐标系.由题意可得各点的坐标,从而可得各向量的坐标.（1）用空间向量数量积公式证即可. （2）根据向量垂直数量积为0可求得面和面的一个法向量,先求两法向量所成角的余弦值,二面角的余弦值等于两法向量的余弦值或其相反数. （3）根据三棱锥的体积公式可直接求得三棱锥的体积.

试题解析：由题意可知面面,且面面,

又面,,面.

所以以为坐标原点, 轴不变,以为轴建立空间直角坐标系.

,

（1）,,

,

,.

（2）,

设为面的一个法向量,

,,令,则,

同理可得面的一个法向量,

,

观察可知平面和平面的夹角为锐角,所以其夹角的余弦值为.

（3） .

考点：用空间向量法解决立体几何问题.

【易错点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角，属于中档题．用空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用解题时一定要注意二面角两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，否则很容易出现错误．