Question

已知、分别是椭圆的左、右焦点．

（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

Answer

（1）;（2）.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆方程可得焦点坐标,设,根据数量积公式可得间的关系式,与椭圆方程联立可得的值,从而可得点坐标. （2）由题意可知直线斜率存在,设的方程为,与椭圆方程联立消去可得关于的一元二次方程.由题意可得其判别式大于0,可得两根之和两根之积. 根据为锐角可知,根据数量积公式可得关于的不等式,从而可得的范围.

试题解析：（1）因为椭圆方程为，知，

∴，设，

则，

又，联立，解得，∴．

（2）显然不满足题意，可设的方程为，设，

联立，∴，

且，∴，

又为锐角，∴，∴，∴，

∴，

∴，又∵，∴，∴.

考点：直线与圆锥曲线的位置关系问题.