Question

已知函数和直线．

（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求原点到直线的距离；

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；

（3）求证：．

Answer

（1）;（2）;（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导,由导数的几何意义可知即为曲线在点处的切线的斜率,根据两直线垂直斜率相乘等于可得直线的斜率,由点到线的距离公式可得所求. （2）对于任意的恒成立等价于对任意,恒成立. 设, .即证.求导,讨论导数的正负注意讨论的符号,根据导数的正负可得函数的单调区间,根据其单调区间可得其最值,只需其最大值小于等于0即可. （3）由（2）知，当时，时，成立, 不妨令,先用放缩法证得,然后用累加法可证得所求.

试题解析：（1）

∴，于是，直线的方程为

原点到直线的距离为．

（2），即，

设，即

，

① 若，存在使，这与题设矛盾

② 若，方程的判别式，

当，即时，，

∴在上单调递减，

∴，即不等式成立

当时，方程，设两根为，

当单调递增，与题设矛盾，综上所述．

（3）由（2）知，当时，时，成立，

不妨令，

所以，

累加可得

，

考点：1导数的几何意义;2用导数研究函数的性质.