Question

直线(为实常数)与曲线的两个交点A、B的横坐标分别为、，且,曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N．下列结论：

① ；② 三角形PAB可能为等腰三角形；③ 若点P到直线的距离为，则的取值范围为；④ 当是函数的零点时，(为坐标原点)取得最小值．其中正确结论的序号为           ．

Answer

①③

【解析】

试题分析：由题意可知两交点的，且有，曲线的切线斜率为，所以在点的切线方程为，可求得，所以，即①正确；当 三角形为等腰三角形时，,，与已知矛盾，，可求得的横坐标小于，由方程可求得,所以不可能，若,可知,显然不能成立，所以 三角形不可能为等腰三角形；因为点坐标为所以，所以③正确；当是函数的零点时有,由于，所以取不到最小值，综上所述，①③正确.

考点：函数的切线，最值，点到直线的距离.

【思路点睛】本题属于综合型题目，先将两函数联立求得点的坐标，再利用导数求得切屑斜率，从而求得切线方程，在求导数时一定要正确处理解析式中的绝对值，进而可求得交点,对等腰三角形的判断，可从三种情况逐个考虑；因为点的横坐标范围已知，所以可将点到直线的距离转化为关于的函数，这样便能求得距离的范围，同理，向量的模长也可用此种方法求解，但是要注意最值能不能取到．