Question

已知C：（－1）²＋(－2)²=25，直线：（2＋1）＋（＋1）－7－4＝0(∈R)．

（1）求证：不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点；

（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程．

Answer

（1）证明见解析；（2），．

【解析】

试题分析：（1）证明直线与圆恒由两个交点，可利用圆心到直线的距离小于圆的半径，也可利用证明直线恒过圆内某一点来证明直线与圆恒有两交点；（2）当直线被圆截得的线段最短时，即弦长最短时，此时必有，由直线的斜率求的斜率，便可求得直线的方程．

试题解析：（1）将的方程整理为（x＋y－4）＋m（2x＋y－7）＝0．

因为对于任意实数m，方程都成立，

所以

所以对于任意实数m，直线恒过定点P（3，1），又圆心C（1，2），r＝5，而｜PC｜＝＜5，即｜PC｜＜r，所以P点在圆内，即证

（2）被圆截得弦最短时，⊥PC．

因为kpc＝＝－，所以kl＝2，所以的方程为2x－y－5＝0为所求，此时，最短的弦长为2＝4.

考点：直线与圆的位置关系.