Question

已知在平面直角坐标系中，点，直线：.设圆C的半径为1，圆心在直线上．

（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点，使，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由两直线的交点可求得圆的圆心，因为切线过点，所以可假设切线方程为，再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求得斜率，从而得到切线方程；（2）因为圆心在，可假设圆心为，又点在圆上，假设，由可知，对其进行化简后得，即点为圆与圆（圆心）的公共点，根据圆与圆的位置关系可知,由两点间距离求得的范围即可．

试题解析：（1）由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意，＝1，解得k＝0或－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为

(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以＝2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，

即1≤≤3.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a2－12a≤0，得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围为[0，]．

考点：圆的切线，圆与圆的位置关系，两点间距离.

【方法点睛】对于第一问，关键在于求得切线的斜率，由题意可知圆心即两直线的交点，再由点斜式可假设出切线的方程，利用切线的定理，即圆心到切线的距离等于半径从而求得切线斜率；第二问中，首先要确定动点的轨迹为圆，再由圆与圆存在公共点确定两圆圆心距离与半径的的关系，从而列有关圆心的不等式，进一步求得参数的范围．