Question

已知抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l’与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）借助题设可直接求得的方程；（2）设直线的方程为,运用题设条件待定出的值即可获解.

试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；

（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则

．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．

故的中点为,

故．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，

从而即，化简得，

解得或．所求直线的方程为或．

考点：抛物线与直线的位置关系及与运用.