Question

如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在过的直线与椭圆交于，两个不同点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）； （2）或

【解析】

试题分析：（1）本题由图可设出椭圆方程：，又知 由，可得椭圆的标准方程.

（2）存在性问题，可先假设存在。设出直线方程（注意斜率不存在的情况），再利用题中的条件为直径的圆过原点，即，使直线方程与椭圆方程联立，建立关于的方程解得.

试题解析：（1）设椭圆的方程为：，

所以，椭圆的方程为：

（2）假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知.

①当直线的斜率不存在时，、分别为椭圆短轴的端点，不符合题意

②当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为：

由得：

令，得：

设，则

又，

直线的方程为：，即或

所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，

使以为直径的圆过原点，其方程为：或

考点：（1）椭圆的几何性质及求椭圆的方程。（2）存在性问题几何性质与方程思想。