Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB；（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：(Ⅰ)要证明线面平行，先本题先要作直线和直线FH 平行；再利用线面平行的判定定理证明即可；

(Ⅱ)要证明线面垂直，只需证明直线和同一平面内的两条相交直线垂直即可.由已知四边形ABCD是正方形可得，，所以只需再证明即可；

(Ⅲ)要求四面体的体积，需求四面体的底面积和高即可；根据已知得，所以BF为四面体B-DEF的高；由，得，即为底面DEF底边EF上的高，可算出底面的面积；再代入四面体的体积公式即可.

试题解析：(Ⅰ)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连结GE，GH，

由于H为BC的中点，故，

又，∴，

∴四边形EFHG为平行四边形， ∴EG∥FH，

而EG平面EDB，

∴.

(Ⅱ)证明：由四边形ABCD为正方形，有，又，

∴，而，

∴，∴，∴，

又，H为BC的中点，

∴，∴，∴，

又，∴，

又，，

∴.

(Ⅲ)【解析】
∵，

∴，所以BF为四面体B-DEF的高，

又BC=AB=2，

∴，

又，即, ∴,

.

考点：直线与平面平行的判定与性质；四面体的体积；直线与平面垂直的判定与性质.